{"id":548,"date":"2007-12-12T18:06:00","date_gmt":"2007-12-12T17:06:00","guid":{"rendered":"http:\/\/revuepolaire.com\/?p=548"},"modified":"2023-08-09T14:50:31","modified_gmt":"2023-08-09T12:50:31","slug":"a-propos-de-georg-cantor-et-des-nombres-transfinis","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/revuepolaire.com\/index.php\/2007\/12\/12\/a-propos-de-georg-cantor-et-des-nombres-transfinis\/","title":{"rendered":"\u00c0 propos de Georg Cantor et des nombres transfinis"},"content":{"rendered":"\n

Le monde moderne \u2014 ou plut\u00f4t \u00ab postmoderne \u00bb, pardon ! \u2014 est un monde qui invite \u00e0 se poser la question [comme l\u2019eut formul\u00e9e Arthur Koestler] du \u00ab z\u00e9ro et de l\u2019infini \u00bb :<\/em><\/p>\n\n\n\n

Les nombres transfinis. Georg Cantor.<\/h3>\n\n\n\n

1) Comment construire les irrationnels (\u00e0 partir des rationnels) ?<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Deux m\u00e9thodes :<\/p>\n\n\n\n

\"-\" Dedekind d\u00e9finit les r\u00e9els par la notion de \u00ab coupure \u00bb entre deux ensembles.<\/p>\n\n\n\n

Exemple : Soit l\u2019ensemble A qui contient tout x tel que \"x^{2}\" > 2 ;
Soit l\u2019ensemble B qui contient tout y tel que y < 2
La \u00ab coupure \u00bb entre les ensembles A et B correspond au r\u00e9el \"\\sqrt{2}\"<\/p>\n\n\n\n

\"-\" Cantor d\u00e9finit les r\u00e9els comme autant de limites de suites de Cauchy [1<\/a>] non convergentes dans Q<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

Exemple : La suite d\u00e9finie par [u(0) = 1] et [u(n+1) =1+ 1\/u(n)]<\/p>\n\n\n\n

Les premiers termes sont donc 1, 2, \"\\frac{3}{2}\", \"\\frac{5}{3}\", etc …

Sa limite dans R est le nombre d\u2019or : \"\\frac{1+<\/p>\n\n\n\n

La d\u00e9finition de Dedekind est int\u00e9ressante dans la mesure o\u00f9 elle permet d\u2019\u00e9chapper aux questions relatives aux d\u00e9veloppement d\u00e9cimaux infinis. Elle pose toutefois une difficult\u00e9 : il est tr\u00e8s difficile de soumettre ces \u00ab coupures \u00bb aux op\u00e9rations arithm\u00e9tiques \u00e9l\u00e9mentaires ; probl\u00e8me qui ne se rencontre pas avec les suites de Cauchy.<\/p>\n\n\n\n

Cependant, la d\u00e9finition cantorienne implique qu\u2019on se penche sur la notion d\u2019infini : si l\u2019infini actuel n\u2019existe pas en math\u00e9matiques, l\u2019id\u00e9e d\u2019une limite qui ne se rencontre qu\u2019\u00e0 l\u2019infini s\u2019en trouve plus que fragilis\u00e9e et l\u2019on peut alors se demander si les irrationnels existent vraiment et s\u2019ils m\u00e9ritent d\u2019appartenir aux nombres \u00ab r\u00e9els \u00bb.<\/p>\n\n\n\n

2) Existe t\u2019il un infini en acte ?<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Aristote refusait l\u2019id\u00e9e d\u2019un infini en acte : il est vrai que l\u2019id\u00e9e d\u2019un corps infini soul\u00e8ve la question de savoir dans quoi ce trouve ce corps. S\u2019il se trouve dans un espace qui le contient, alors cet espace en constitue la limite, ce qui est contraire \u00e0 l\u2019id\u00e9e d \u2018infini.<\/p>\n\n\n\n

Cependant, il n\u2019y a aucune raison pour que la construction des objets math\u00e9matiques soit subordonn\u00e9e aux possibilit\u00e9s ou impossibilit\u00e9s du monde mat\u00e9riel.<\/p>\n\n\n\n

D\u2019autres objections surgissent de ce que les propri\u00e9t\u00e9s des nombres finis ne se retrouvent pas dans les nombres infinis.
Ainsi, les nombres infinis ne sont ils ni pairs ni impairs : ils ne peuvent s\u2019\u00e9crire sous la forme (\u03c9 = 2x) ni sous la forme (\u03c9 = 2x +1)<\/p>\n\n\n\n

Par ailleurs, l\u2019id\u00e9e d\u2019un ensemble infini en acte fait surgir un paradoxe apparent au regard des propri\u00e9t\u00e9s des nombres finis :
En effet, pour tout ensemble finis le \u00ab Tout est plus grand que la partie \u00bb.
Or, l\u2019ensemble des entiers pairs, ou des carr\u00e9s ou des cubes, etc.., est aussi grand que l\u2019ensemble des entiers. La d\u00e9monstration passe par la mise en \u00e9vidence d\u2019une bijection entre ces divers ensembles.
Pour tout entier n, il existe un entier pair \u00e9gal \u00e0 2n et inversement, pour tout nombre pair m, il existe un entier p tel que p = \"\\frac{m}{2}\"
Pour tout entier n, il existe \"n^{2}\", ou \"n^{3}\", etc\u2026 et inversement\u2026<\/p>\n\n\n\n

Cependant, ce n\u2019est l\u00e0 qu\u2019un faux paradoxe et Dedekind s\u2019appuiera justement sur cette caract\u00e9ristique pour d\u00e9finir les ensembles infinis : \u00ab Est infini tout ensemble susceptible d\u2019\u00eatre mis en bijection avec au moins une de ses parties \u00bb.<\/p>\n\n\n\n

En d\u00e9finitive, rien n\u2019emp\u00eache de construire une nouvelle cat\u00e9gorie de nombres, les nombres transfinis, dans la mesure o\u00f9 :
1) Leur construction respecte le principe de non contradiction.
2) Ils sont rigoureusement d\u00e9finis.<\/p>\n\n\n\n

3 – La construction des ordinaux transfinis.<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Comme ce qui pr\u00e9c\u00e8de le sugg\u00e8re, les nombres sont des ensembles<\/strong>. Nous n\u2019avons besoin pour commencer la suite des entiers naturels que de l\u2019ensemble vide, auquel est associ\u00e9 le nombre z\u00e9ro. Cet ensemble vide est ensuite consid\u00e9r\u00e9 comme \u00e9l\u00e9ment d\u2019un ensemble auquel est associ\u00e9 le nombre un ; le z\u00e9ro et le un ainsi obtenus permettent de construire un nouvel ensemble auquel est associ\u00e9 le nombre deux et ainsi de suite :<\/p>\n\n\n\n

\"\\varnothing\" : 0*<\/strong>
\"\\{\\varnothing : 1
\"\\{\\varnothing : 2
\"\\{\\varnothing : 3
Etc\u2026<\/p>\n\n\n\n

On remarque donc que : 1 \"\\in\" 2 \"\\in\" 3 \"\\in\" etc\u2026 *<\/strong>
Le premier principe d\u2019engendrement<\/em> consiste donc simplement dans l\u2019ajout d\u2019une unit\u00e9 \u00e0 l\u2019ensemble pr\u00e9c\u00e9dent.<\/p>\n\n\n\n

* REMARQUE (1) : 0 n\u2019est pas consid\u00e9r\u00e9 par Cantor comme un vrai nombre (cf Jean-Pierre Belna, Cantor, Paris, Les Belles Lettres,. (Coll. Figures du savoir) 2000, 238 p.). Voir la remarque suivante pour une explication possible.<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Qu\u2019est-ce qu\u2019un nombre ordinal ?<\/p>\n\n\n\n

Sans trop entrer dans les d\u00e9tails, rappelons que les mots \u00ab premier \u00bb, \u00ab deuxi\u00e8me \u00bb, \u00ab troisi\u00e8me \u00bb, etc. s\u2019appellent des adjectifs num\u00e9raux ordinaux. La notion d\u2019ordinal fait donc intervenir la notion d\u2019ordre.
Pour tout ensemble fini, l\u2019ordinal correspondant co\u00efncide avec son cardinal, c\u2019est \u00e0 dire son nombre d\u2019\u00e9l\u00e9ments.
C\u2019est pour les nombres infinis qu\u2019une distinction s\u2019impose (voir remarque suivante).
Le deuxi\u00e8me principe d\u2019engendrement<\/em> consiste en un \u00ab passage \u00e0 la limite \u00bb : il autorise \u00e0 consid\u00e9rer l\u2019ensemble des entiers naturels comme une totalit\u00e9 achev\u00e9e, pour poser ensuite l\u2019existence du premier ordinal imm\u00e9diatement sup\u00e9rieur \u00e0 tous les autres.
On le note : \u03c9<\/strong> .
On remarquera qu\u2019\u00e0 l\u2019instar de 0, \u03c9 n\u2019a pas de pr\u00e9d\u00e9cesseur imm\u00e9diat, c\u2019est \u00e0 dire que quelque soit n, entier naturel, il existe une infinit\u00e9 d\u2019entiers naturels entre lui et \u03c9 ; on le nomme \u00ab ordinal limite \u00bb.<\/p>\n\n\n\n

Les nombres construits par la seule application du premier principe d\u2019engendrement forment la Classe I, ce sont les entiers finis. \u03c9 est l\u2019ordinal des nombres de Classe I et est le premier ordinal de Classe II.
Par application altern\u00e9e du premier et du deuxi\u00e8me principes d\u2019engendrement, on construit les ordinaux transfinis de Classe II :<\/p>\n\n\n\n

\u03c9, \u03c9 + 1, \u03c9 + 2, \u2026, \u03c9 + n, \u2026<\/p>\n\n\n\n

REMARQUE (2) : \u03c9 et \u03c9 + 1 contiennent le m\u00eame nombre d\u2019\u00e9l\u00e9ments : ils ont le m\u00eame cardinal. Cependant ils ne d\u00e9signent pas le m\u00eame type d\u2019ordre ; en effet \u03c9 n\u2019a pas de pr\u00e9d\u00e9cesseur alors que \u03c9 + 1 en a un (qui est \u03c9).
L\u2019ordinal \u03c9 + 1 est donc l\u2019ordinal de l\u2019ensemble obtenu en ajoutant l\u2019ensemble 1 \u00e0 la suite de l\u2019ensemble \u03c9 : si Cantor avait consid\u00e9r\u00e9 0 comme un vrai nombre (ce que fait Frege), l\u2019ordinal de l\u2019ensemble ainsi obtenu serait \u00e9gal \u00e0 \u03c9+2.
En effet :
\u03c9 +1= 1,2,3,4\u2026\u2026,n,\u2026., \u03c9, 1 : l\u2019ordinal correspondant est bien \u03c9 + 1
Si 0 avait \u00e9t\u00e9 consid\u00e9r\u00e9 comme un nombre, l\u2019ensemble d\u00e9sign\u00e9 par 1 contiendrait deux \u00e9l\u00e9ments : 0,1
On aurait
\u03c9 + 1= 0,1,2,3,4\u2026\u2026,n,\u2026., \u03c9,0,1 : l\u2019ordinal correspondant serait alors \u03c9+ 2<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Puis, nouveau passage \u00e0 la limite par application du deuxi\u00e8me principe :<\/p>\n\n\n\n

\u03c9 + \u03c9 = \u03c9.2<\/p>\n\n\n\n

Par application du premier principe on obtient :<\/p>\n\n\n\n

\u03c9.2 + 1, \u03c9.2 + 2,\u2026, \u03c9.2 + n,\u2026<\/p>\n\n\n\n

On obtient de la sorte :<\/p>\n\n\n\n

\u03c9.3,\u2026,
\u03c9.4,\u2026,
\u03c9.\u03c9 = \"\\omega^{2}\",\u2026,
\u03c93,\u2026,
.
.
\"\\omega^{\\omega}\",
.
.
Cantor invoque ensuite un troisi\u00e8me principe, appel\u00e9 principe de limitation<\/em> permettant de consid\u00e9rer l\u2019ensemble des ordinaux de Classe II comme une totalit\u00e9 achev\u00e9e, et d\u2019ouvrir une possibilit\u00e9 pour les ordinaux de Classe III.<\/p>\n\n\n\n

Quelques remarques sur les propri\u00e9t\u00e9s des ordinaux transfinis de Classe II.<\/p>\n\n\n\n

L\u2019addition et la multiplication des ordinaux sont associatives mais non commutatives.
Par exemple :<\/p>\n\n\n\n

1 + \u03c9 = 1, 1, 2, 3, …, \u03c9.<\/p>\n\n\n\n

Le nombre ordinal de l\u2019ensemble obtenu en additionnant \u00e0 l\u2019ensemble (1) l\u2019ensemble (\u03c9) est donc \u03c9<\/p>\n\n\n\n

En revanche : \u03c9 + 1 = 1, 2, 3, …, \u03c9, \u03c9 + 1.<\/p>\n\n\n\n

De m\u00eame :
\u03c9 2 = \u03c9 + \u03c9 = 1, 2, 3, …, \u03c9, \u03c9 + 1, \u03c9 + 2, \u03c9 + 3, …, \u03c9 + \u03c9.
Alors que :
2\u03c9 = 1,2,1,2,1,2,1,2 … = \u03c9.<\/p>\n\n\n\n

Le paradoxe de Burali-Forti<\/p>\n\n\n\n

Soit \u03a9 l\u2019ordinal de tous les ordinaux, c\u2019est \u00e0 dire que \u03a9 est plus grand que tout ordinal. Mais si \u03a9 est un ordinal, alors (\u03a9 + 1) l\u2019est aussi. On a donc \u03a9 \"\\in\" (\u03a9 + 1) ; mais \u00e9galement (\u03a9 + 1) \"\\in\" \u03a9, puisque \u03a9 est l\u2019ordinal de TOUS les ordinaux.
Autre formulation : L\u2019ensemble de tous les ordinaux ne poss\u00e8de pas lui-m\u00eame d\u2019ordinal du fait que cet ordinal doit \u00eatre n\u00e9cessairement plus grand que chacun des membres de cet ensemble qui, par l\u00e0 m\u00eame et en d\u00e9pit de sa d\u00e9finition, ne contient pas cet ordinal.<\/p>\n\n\n\n

Autre formulation : \u00ab \"\\in\" \u00bb exprime une relation d\u2019ordre strict, c\u2019est \u00e0 dire que si R(a,b) alors \u00acR(b, a).
D\u2019o\u00f9 : x\"\\not\\in\"x<\/p>\n\n\n\n

Ainsi, [\u2200\u03b1 \u03b8(\u03b1) \u2192 \u00ac (\u03b1\u2208\u03b1)] o\u00f9 \u03b8 exprime la propri\u00e9t\u00e9 \u00ab \u00eatre un cardinal \u00bb<\/p>\n\n\n\n

Si \u03a9 = \u2200\u03b1 \u03b8(\u03b1) , alors \u00ac\u03b8(\u03a9)
En effet, si \u03b8(\u03a9) alors \u03a9\"\\in\"\u03a9 mais comme \u00ab \"\\in\" \u00bb exprime une relation d\u2019ordre strict alors : \u03a9\"\\not\\in\"\u03a9<\/p>\n\n\n\n

4) Les nombres cardinaux<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Tous les ordinaux de la Classe II, s\u2019ils d\u00e9signent des types d\u2019ordre diff\u00e9rents, contiennent n\u00e9anmoins le m\u00eame nombre d\u2019\u00e9l\u00e9ments : ils poss\u00e8dent le m\u00eame cardinal.
Cantor nomme le cardinal des ensembles d\u00e9nombrables : \"\\aleph^{0}\"<\/p>\n\n\n\n

Or, si l\u2019ensemble \"\\N\" des entiers naturels a la puissance du d\u00e9nombrable, on peut d\u00e9montrer que l\u2019ensemble \"\\R\" des r\u00e9els est strictement plus grand.<\/p>\n\n\n\n

En effet, supposons d\u2019abord qu\u2019il existe une bijection entre \"\\N\" et \"\\R\" :<\/p>\n\n\n\n\n\n

[L\u2019indice en bas indique avec quel entier naturel le r\u00e9el est en bijection. L\u2019indice du haut indique la position du chiffre apr\u00e8s la virgule.<\/p>\n\n\n\n

Remarque : Quelques pr\u00e9cautions doivent \u00eatre prises pour \u00e9viter qu\u2019un nombre de \"\\R\" n\u2019ait la forme 0, 9999999\u2026 qui est \u00e9gal \u00e0 1.
En effet, si x = 0,99999\u2026 alors 10x = 9,99999 \u2026 et (10x \u2013 x) = 9x = 9, d\u2019o\u00f9 x = 1.
Autre d\u00e9monstration : 1 = 3\u00d7\"\\frac{1}{3}\" et \"\\frac{1}{3}\" = 0,3333\u2026 d\u2019o\u00f9 : 3\u00d7\"\\frac{1}{3}\" = 3 \u00d7 0,3333\u2026 = 0,9999\u2026]<\/p>\n\n\n\n

La liste \u00e9tant suppos\u00e9e achev\u00e9e, on peut construire un nouveau r\u00e9el, compris entre 0 et 1, qui ne s\u2019y trouve pas : 0, \"y^{1}\"\"y^{2}\" \u2026\"y^{n}\", o\u00f9 :
\"y^{1}\"\u2260 \"(x_1)^{1}\"
\"y^{2}\"\u2260 \"(x_2)^{2}\"
\"y^{n}\"\u2260 \"(x_n)^{n}\"<\/p>\n\n\n\n

L\u2019ensemble \"\\R\" des r\u00e9els est donc strictement plus grand que l\u2019ensemble \"\\N\" il a la puissance du continu dont Cantor suppose que le cardinal est \"\\aleph^{1}\".<\/p>\n\n\n\n

Cette supposition selon laquelle \"\\aleph^{1}\" est le cardinal de \"\\R\" et est imm\u00e9diatement sup\u00e9rieur \u00e0 \"\\aleph^{0}\", appel\u00e9e \u00ab hypoth\u00e8se du continu \u00bb, a \u00e9t\u00e9 d\u00e9montr\u00e9e \u00ab ind\u00e9cidable \u00bb en 1966 par Cohen : elle et sa contradictoire son compatibles avec les autres axiomes de l\u2019arithm\u00e9tique.<\/p>\n\n\n\n

Le paradoxe du plus grand cardinal.<\/p>\n\n\n\n

D\u00e8s lors qu\u2019\u00e0 partir d\u2019un ensemble donn\u00e9 on peut construire un ensemble plus grand qui correspondra \u00e0 l\u2019ensemble de ses parties, on peut supposer une suite infinie d\u2019alephs : \"\\aleph^{0}\", \"\\aleph^{1}\", \u2026, \"\\aleph^{\\omega}\", etc\u2026<\/p>\n\n\n\n

Le fait que l\u2019ensemble des parties d\u2019un ensemble ait un plus grand cardinal que cet ensemble lui m\u00eame peut sembler \u00e9vident pour les ensembles finis ; il l\u2019est peut \u00eatre moins pour les ensembles infinis. Voici donc une d\u00e9monstration valable (?) pour tout ensemble :<\/p>\n\n\n\n

Supposons que l\u2019ensemble E<\/strong> poss\u00e8de autant d\u2019\u00e9l\u00e9ments que l\u2019ensemble P(E) de ses parties : \u00e0 chaque \u00e9l\u00e9ment x de E<\/strong> correspond un \u00e9l\u00e9ment X<\/em> de P(E) et \u00e0 chaque \u00e9l\u00e9ment Y<\/em> de P(E) correspond un \u00e9l\u00e9ment y de E<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

X et Y sont donc des parties de E<\/strong> \u00e0 partir desquels on a d\u00e9fini les \u00e9l\u00e9ments X<\/em> et Y<\/em> de P(E) ).<\/p>\n\n\n\n

Appelons ces x, y, \u2026 les indices <\/em>respectifs de X<\/em>, Y<\/em>, \u2026
Comme les X<\/em>, Y<\/em>, \u2026 sont construits \u00e0 partir des parties X , Y , \u2026 de l\u2019ensemble E<\/strong>, on peut imaginer que ces x, y, \u2026 appartiennent aux parties X, Y, \u2026 qui permettent de former les X<\/em>, Y<\/em>, \u2026 dont ils sont les indices :<\/p>\n\n\n\n

On a donc :
x \"\\in\" X
y \"\\in\" Y
\u2026 \u2026<\/p>\n\n\n\n

Est il alors possible qu\u2019un \u00e9l\u00e9ment de P(E) n\u2019ait pas d\u2019ant\u00e9c\u00e9dent dans E<\/strong> ?
Si c\u2019est le cas, alors P(E) est strictement plus grand que E<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

Supposons que la liste qui fait correspondre \u00e0 chaque \u00e9l\u00e9ment de E<\/strong> un \u00e9l\u00e9ment de P(E) soit dress\u00e9e : peut-on encore construire un nouvel \u00e9l\u00e9ment de P(E) dont on soit certain qu\u2019il ne peut avoir d\u2019ant\u00e9c\u00e9dent ( et donc d\u2019indice ) dans E<\/strong> ?
On construit alors l\u2019\u00e9l\u00e9ment Z<\/em> de P(E), form\u00e9 \u00e0 partir de la sous-partie Z de E<\/strong>, telle que Z contienne tous les \u00e9l\u00e9ments de E<\/strong> qui n\u2019appartiennent pas \u00e0 la sous-partie de E<\/strong> d\u2019o\u00f9 est tir\u00e9 l\u2019\u00e9l\u00e9ment de P(E) dont ils sont l\u2019indice.
On peut simplifier les choses ainsi :
si x \"\\in\" X , alors x \"\\not\\in\" Z
si x \"\\not\\in\" X , alors x \"\\in\" Z<\/p>\n\n\n\n


Cette condition pour qu\u2019un \u00e9l\u00e9ment entre dans Z rend impossible l\u2019indice z de Z<\/em> , puisque , en proc\u00e9dant par substitution :
si z \"\\in\" Z, alors z \"\\not\\in\" Z
et si z \"\\not\\in\" Z, alors z \"\\in\" Z.<\/p>\n\n\n\n


Subsiste la question de savoir s\u2019il existe bien un tel x qui n\u2019appartienne pas \u00e0 X, car il est juste que, sans cela , nous ne pourrions engendrer ni Z, ni Z<\/em> .
Or, si l\u2019ensemble vide \"\\varnothing\" est bien une sous partie de E<\/strong>, alors <\/em> est bien un \u00e9l\u00e9ment de P(E) ; donc <\/em> doit avoir un ant\u00e9c\u00e9dent dans E<\/strong> qui en est aussi l\u2019indice. Nommons a cet indice. Mais a ne peut pas \u00eatre \u00e9l\u00e9ment d\u2019un ensemble qui est vide\u2026 : on a donc a \"\\not\\in\" \"\\varnothing\", c\u2019est \u00e0 dire que a \"\\not\\in\" A.<\/p>\n\n\n\n

Le paradoxe est donc le suivant : il n\u2019y a pas de plus grand cardinal, parce qu\u2019il n\u2019y a pas d\u2019ensemble de tous les ensembles. Supposons en effet que E<\/strong> soit l\u2019ensemble de tous les ensembles : alors il existe P(E) strictement plus puissant que lui. E<\/strong> devrait \u00e0 la fois \u00eatre plus grand que tout ensemble et en m\u00eame temps plus petit que P(E).<\/p>\n\n\n\n

Ce paradoxe est en fait intimement li\u00e9 au paradoxe de Burali-Forti qui affecte les ordinaux : en effet, les alephs sont ordonn\u00e9s par ceux ci : \"\\aleph^{0}\", \"\\aleph^{1}\", \u2026, \"\\aleph^{\\omega}\", etc\u2026 ; le paradoxe du plus grand cardinal est donc en fait le paradoxe du cardinal index\u00e9 du nombre ordinal qui r\u00e9pond \u00e0 la d\u00e9finition de l\u2019ordinal de tous les ordinaux.<\/p>\n\n\n\n

\n\n\n\n

[1<\/a>] Crit\u00e8re de Cauchy :<\/p>\n\n\n\n\n\n

Ce qui signifie que pour tout n<\/strong> au moins aussi \u00ab grand \u00bb qu\u2019un certain nombre N<\/strong>, la diff\u00e9rence entre u(n) et n\u2019importe lequel de ses successeurs, not\u00e9 ici U(n+p), est plus petite que epsilon qui est un nombre infiniment petit (plus grand que 0 mais plus petit que tout r\u00e9el).<\/p>\n\n\n\n

Un exemple de suite de Cauchy est celle d\u00e9finie par u(0)=1 et u(n+1)=1+ 1\/u(n) (les premiers termes sont donc 1 ; 2 ; 3\/2 ; 5\/3 …)

C\u2019est une suite de Cauchy qui ne converge pas dans Q puisque sa limite dans R est le nombre d\u2019or : \"\\frac{1+<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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